\section{矩阵的有理标准形}

\begin{frame}{友矩阵}

前一节中证明了复数域上任一矩阵 $ A$ 可相似于一个若尔当形矩阵，这一节将对任意数域 $P$ 来讨论类似的问题。 
相比于Jordan标准形只在复数域上存在，有理标准形在在任意的域上存在。

\begin{definition}
对数域 $P$ 上的一个多项式
\[
  d(\lambda) =\lambda^{n}+a_{1} \lambda^{n-1}+\cdots+a_{n},
\]
称矩阵
\[\tag{1}
  C(d(\lambda))=\begin{pmatrix}
    0 & 0 & \cdots & 0 & -a_{n} \\
  1 & 0 & \cdots & 0 & -a_{n-1} \\
0 & 1 & \cdots & 0 & -a_{n-2} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{1}
\end{pmatrix}
\]
为多项式 $d(\lambda)$ 的\emph{友矩阵} (companion matrix)。
\end{definition}

容易验证， $C(d(\lambda))$ 的（即特征矩阵 $\lambda  E-C(d(\lambda))$ 的）不变因子是 $\underbrace{1,1, \cdots, 1}_{n-1 \text{个}}, d(\lambda)$\verify。

\end{frame}

\begin{frame}{有理标准形}

\begin{definition}
准对角矩阵
\[\tag{2}
   A=\begin{pmatrix}
      C(d_1(\lambda) & & \\
& \ddots & \\
& & C(d_s(\lambda))
\end{pmatrix},
\]
其中 $C(d_i(\lambda))$ 分别是数域 $P$ 上某些多项式 $d_{i}(\lambda)$ ($i=1,2, \cdots, s$) 的友矩阵， 且满足 
\[
  d_{1}(\lambda)\mid d_{2}(\lambda)\mid \cdots \mid d_{s}(\lambda),
\]
称为 $P$ 上的\emph{有理标准形矩阵}。
\end{definition}

  \begin{theorem}\label{19A}
    数域 $P$ 上 $n \times n$ 方阵 $ A$ 在 $P$ 上相似于唯一的一个有理标准形，
    称为 $A$ 的\emph{有理标准形} (rational canonical form)。
实际上，若$A$的非$1$的不变因子依次为$d_1(\lambda), \cdots, d_k(\lambda)$
(取成$d_1(\lambda)\mid d_2(\lambda)\mid \cdots\mid d_k(\lambda)$)，则$A$的有理标准形为
\[
\begin{pmatrix}
      C(d_1(\lambda) & & \\
& \ddots & \\
& & C(d_k(\lambda))
\end{pmatrix}.
\]
\end{theorem}
\end{frame}


\begin{frame}


把上述定理~\ref{19A}~的结论变成线性变换形式的结论就成为

  \begin{theorem}\label{1A2}
    设 $\mathscr{A}$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间的线性变换，则在 $V$ 中存在一组基，
    使 $\mathscr{A}$在该基下的矩阵是有理标准形，并且这个有理标准形由 $\mathscr{A}$ 唯一决定，
    称为 $\mathscr{A}$ 的\emph{有理标准形}。
\end{theorem}

\begin{example}
  设$A\in P^{3\times 3}$的初等因子为$(\lambda-1)^2, \lambda-1$, 
  则它的不变因子为$1, \lambda-1, (\lambda-1)^2$, 它的有理标准形为
  \[
    \begin{pmatrix}
      1 \\
      & 0 & -1\\
      & 1 & 2
    \end{pmatrix}.
\]
\end{example}

\end{frame}


\begin{frame}
\begin{lemma}
(2) 中矩阵 $ A$ 的不变因子为 $1,1, \cdots, 1, d_{1}(\lambda), d_{2}(\lambda), \cdots, d_{s}(\lambda)$, 其中 $1$ 的个数等于 $d_{1}(\lambda), d_{2}(\lambda), \cdots, d_{s}(\lambda)$ 的次数之和减去 $s$.
\end{lemma}



\begin{proof}
我们有
\[
  \lambda E-A=\begin{pmatrix}
    \lambda  E_{1}- A_{1} & & & \\
  & \ddots & \\
& & \lambda  E_{s}- A_{s}
\end{pmatrix} .
\]
由于每个 $\lambda  E_{i}- A_{i}$ 的不变因子为 $1, \cdots, 1, d_{i}(\lambda)$, 故可用初等变换把它变成
\[
  \begin{pmatrix}
    1 & & & \\
  & \ddots & & \\
& & 1 & \\
& & & d_{i}(\lambda)
\end{pmatrix}.
\]
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{proof}[续]
进而用初等变换将 $\lambda E-A$ 变成
\[\tag{3}
  \begin{pmatrix}
    1 & & & \\
  & \ddots & & \\
& & 1 & \\
& & & d_{1}(\lambda)\\
&&&& \ddots \\
&&&&& 1 & & & \\
&&&&& & \ddots & & \\
&&&&& & & 1 &  \\
&&&&& & & &  d_s(\lambda)
\end{pmatrix}.
\]
    在 $\lambda$-矩阵 (3) 上再进行一些行或列互换，则可变成
\[
  \begin{pmatrix}
      1 \\ & \ddots \\ & & 1 \\ & & & d_1(\lambda) \\ & & & & \ddots \\ &&&&& d_s(\lambda)
      \end{pmatrix}.
  \]
由于 $d_{1}(\lambda)\left|d_{2}(\lambda)\right| \cdots \mid d_{s}(\lambda)$, 它是 $\lambda  E- A$ 的标准形， $1,1, \cdots, 1, d_{1}(\lambda), d_{2}(\lambda), \cdots$, $d_{s}(\lambda)$ 是它的不变因子。 

  \end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}

  \begin{proof*}[定理~\ref{19A}~的证明]
设 $A$ 的 (即 $\lambda E-A$ 的) 不变因子为 $1,1, \cdots, 1, d_{1}(\lambda), d_{2}(\lambda), \cdots, d_{s}(\lambda)$, 其中 $d_{1}(\lambda), d_{2}(\lambda), \cdots, d_{s}(\lambda)$ 的次数 $\geqslant 1$, 且 $1$ 的个数等于 $d_{1}(\lambda), \cdots, d_{s}(\lambda)$ 的次数之和减去 $s$. 设 $d_{i}(\lambda)$ 的友矩阵是 $ B_{i}$, 则作
\[
   B=\begin{pmatrix}
     B_{1} & & & \\
  &  B_{2} & & \\
& & \ddots & \\
& & &  B_{s}
\end{pmatrix}
\]
如引理所述， $ B$ 的不变因子与 $ A$ 的不变因子完全相同，故 $ B$ 相似于 $ A$, 即 $ B$ 是 $ A$ 的有理标准形。

又 $ B$ 是由 $ A$ 的不变因子唯一决定的，故 $ B$ 由 $ A$ 唯一决定。 
\end{proof*}



\end{frame}


%\begin{frame}

%\begin{example}
%我们利用有理标准形来证明$A$相似于$A^{\rT}$. 设$p(\lambda)$为$A$的特征多项式。
%设$A$的不变因子为$1,1, \cdots, 1, d_{1}(\lambda), d_{2}(\lambda), \cdots, d_{s}(\lambda)$.
%这样$\lambda E-A$等价于$\diag(C(d_1(\lambda))),\cdots, C(d_s(\lambda)))$. 
%从而$\lambda E-A^{\rT}$等价于$\diag(C(d_1(\lambda)))^{\rT},\cdots, C(d_s(\lambda))^{\rT})$. 
%容易发现$C(d_i(\lambda))$等价于$C(d_i(\lambda))^{\rT}$, 因为二者的行列式因子都是$1,\cdots,1,d_i(\lambda)$.
%这样$\lambda E-A$与$\lambda E-A^{\rT}$等价，从而$A$与$A^{\rT}$相似。 
%\end{example}
%\end{frame}

